AKOW 019 - 天體力學問題: 如果太陽突然變輕了
這個問題似乎太隱晦一點，還是早些給出解答吧。
從圖中可見是內行星軌道半徑橢圓形軌道的曲率圓半徑外行星軌道半徑。
從幾何的觀點可以這樣理解：如果兩個圓內切，即彼此相切於一點而一個圓完全套著另一個，那麼當然是半徑大的圓套著半徑小的圓。彗星軌道和內行星軌道相切的點就是彗星軌道的近日點，在近日點附近的彗星軌道都會完全位於內行星軌道之外，已知這一段彗星軌道跟它的曲率圓圓弧大致上沒有分別，亦即是可以看成橢圓形軌道的曲率圓跟內行星軌道內切，而前者套著後者，於是得出「彗星橢圓形軌道的曲率圓半徑內行星軌道半徑」。同理，考慮到彗星軌道和外行星軌道相切的點就是彗星軌道的遠日點，可以得出「外行星軌道半徑彗星橢圓形軌道的曲率圓半徑」。
從物理的觀點可以這樣理解：圓周向心運動公式是a=v^2/r，其中a是向心加速度，v是物體的速度，r是物體的圓形軌道半徑，這公式可以寫成r=v^2/a。在彗星的近日點，它所受到太陽重力引致的向心加速度跟內行星是一樣的，而它的軌道曲率圓半徑及內行星軌道半徑都可以用以上同一條公式求出。因此，「彗星橢圓形軌道的曲率圓半徑內行星軌道半徑」的物理意義，就是在近日點，彗星的速度比內行星快。同理，「外行星軌道半徑彗星橢圓形軌道的曲率圓半徑」的物理意義，就是在遠日點，彗星的速度比外行星慢。
一切都很簡單，是不是？
從圖中可見是內行星軌道半徑橢圓形軌道的曲率圓半徑外行星軌道半徑。
從幾何的觀點可以這樣理解：如果兩個圓內切，即彼此相切於一點而一個圓完全套著另一個，那麼當然是半徑大的圓套著半徑小的圓。彗星軌道和內行星軌道相切的點就是彗星軌道的近日點，在近日點附近的彗星軌道都會完全位於內行星軌道之外，已知這一段彗星軌道跟它的曲率圓圓弧大致上沒有分別，亦即是可以看成橢圓形軌道的曲率圓跟內行星軌道內切，而前者套著後者，於是得出「彗星橢圓形軌道的曲率圓半徑內行星軌道半徑」。同理，考慮到彗星軌道和外行星軌道相切的點就是彗星軌道的遠日點，可以得出「外行星軌道半徑彗星橢圓形軌道的曲率圓半徑」。
從物理的觀點可以這樣理解：圓周向心運動公式是a=v^2/r，其中a是向心加速度，v是物體的速度，r是物體的圓形軌道半徑，這公式可以寫成r=v^2/a。在彗星的近日點，它所受到太陽重力引致的向心加速度跟內行星是一樣的，而它的軌道曲率圓半徑及內行星軌道半徑都可以用以上同一條公式求出。因此，「彗星橢圓形軌道的曲率圓半徑內行星軌道半徑」的物理意義，就是在近日點，彗星的速度比內行星快。同理，「外行星軌道半徑彗星橢圓形軌道的曲率圓半徑」的物理意義，就是在遠日點，彗星的速度比外行星慢。
一切都很簡單，是不是？
利用上面的結果，便可以很容易証明若一個彗星的總能量等於或大於零，那麼它的軌道不會是一個橢圓形。
首先每一個在圓形軌道上運行的行星，其總能量必小於零。這個容易証明，可以由重力的反平方公式(F=GMm/r^2)、勢能公式(U=-GMm/r)、向心力公式(F=mv^2/r)及動能公式(T=mv^2/2)推出，結果是總能量T+U=-GMm/2r，網友可以自己做一做作為練習。
倘若這個彗星的軌道是一個橢圓形，那麼它會經過遠日點。現在假設在遠日點恰有一個在圓形軌道上運行的外行星。由於彗星的總能量守恆，從能量的觀點看，彗星的總能量比外行星大，而在遠日點，兩者的重力勢能是一樣的，所以從總能量減去重力勢能，便知彗星的動能比外行星大。但由前述，知外行星的速度比彗星快，矛盾。
結論是一個總能量等於或大於零的彗星，其軌道不會是一個橢圓形。
這就是我先前所說的比在主題開普勒第三定律的推導中更為簡單的方法。
首先每一個在圓形軌道上運行的行星，其總能量必小於零。這個容易証明，可以由重力的反平方公式(F=GMm/r^2)、勢能公式(U=-GMm/r)、向心力公式(F=mv^2/r)及動能公式(T=mv^2/2)推出，結果是總能量T+U=-GMm/2r，網友可以自己做一做作為練習。
倘若這個彗星的軌道是一個橢圓形，那麼它會經過遠日點。現在假設在遠日點恰有一個在圓形軌道上運行的外行星。由於彗星的總能量守恆，從能量的觀點看，彗星的總能量比外行星大，而在遠日點，兩者的重力勢能是一樣的，所以從總能量減去重力勢能，便知彗星的動能比外行星大。但由前述，知外行星的速度比彗星快，矛盾。
結論是一個總能量等於或大於零的彗星，其軌道不會是一個橢圓形。
這就是我先前所說的比在主題開普勒第三定律的推導中更為簡單的方法。
現在用初等數學証明若物體的總能量剛好為零的話，那麼它的軌跡不會是一條雙曲線。所要應用的物理知識，除了能量守恆定律外，還有角動量守恆定律。
如圖，雙曲線h(紅色)的分支有兩條漸近線a及a』，在雙曲線上每一點都有一條切線t。從雙曲線焦點F畫FP垂直漸近線a，不論切點在雙曲線上什麼地方，P總是固定的。畫FQ垂直切線t，FP與切線t的交點為R，一般情況下R不是切點。FQ是F跟t的最短距離，所以FQFR，而由圖可知，FRFP，合起來就是FQFP。
由能量守恆定律，知當總能量剛好為零的物體距離重力源很遠時，其動能趨近於零，即是它的速度及動量也趨近於零。物體對於重力源的角動量，等於其動量乘以其速度所在直線與重力源的距離，就是圖中的FQ。若物體的動量趨近於零，而其速度所在直線與重力源的距離又永遠小於一個常數FP，那麼它的角動量便也趨近於零，這與角動量守恆定律矛盾。
因此一個總能量剛好為零的物體，它的軌跡不會是一條雙曲線，剩下來只能是拋物線。
另一方面，可以証明一個總能量大於零的物體，它的軌跡只會是一條雙曲線。
由能量守恆定律，知當總能量大於零的物體距離重力源很遠時，它的速度及動量也趨近於一個不為零的數值。而可以引用以上的論証或另外作獨立的數學証明，得出拋物線焦點跟拋物線上切線的距離會趨向無窮大。應用類似上述的論証，可知若它沿拋物線飛離重力場，則其角動量便也趨向無窮大，違反角動量守恆定律，由此便証明瞭一個總能量大於零的物體，它的軌跡不會是一條拋物線。
如圖，雙曲線h(紅色)的分支有兩條漸近線a及a』，在雙曲線上每一點都有一條切線t。從雙曲線焦點F畫FP垂直漸近線a，不論切點在雙曲線上什麼地方，P總是固定的。畫FQ垂直切線t，FP與切線t的交點為R，一般情況下R不是切點。FQ是F跟t的最短距離，所以FQFR，而由圖可知，FRFP，合起來就是FQFP。
由能量守恆定律，知當總能量剛好為零的物體距離重力源很遠時，其動能趨近於零，即是它的速度及動量也趨近於零。物體對於重力源的角動量，等於其動量乘以其速度所在直線與重力源的距離，就是圖中的FQ。若物體的動量趨近於零，而其速度所在直線與重力源的距離又永遠小於一個常數FP，那麼它的角動量便也趨近於零，這與角動量守恆定律矛盾。
因此一個總能量剛好為零的物體，它的軌跡不會是一條雙曲線，剩下來只能是拋物線。
另一方面，可以証明一個總能量大於零的物體，它的軌跡只會是一條雙曲線。
由能量守恆定律，知當總能量大於零的物體距離重力源很遠時，它的速度及動量也趨近於一個不為零的數值。而可以引用以上的論証或另外作獨立的數學証明，得出拋物線焦點跟拋物線上切線的距離會趨向無窮大。應用類似上述的論証，可知若它沿拋物線飛離重力場，則其角動量便也趨向無窮大，違反角動量守恆定律，由此便証明瞭一個總能量大於零的物體，它的軌跡不會是一條拋物線。
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