AKOW 019 - 天體力學問題: 如果太陽突然變輕了

[Wah!]

如果事先接受在反平方引力場中物體的運動軌跡只可能是橢圓、拋物線、雙曲線或直線(當物體的速度方向恰好在它和引力場中心的連線之上)四種情況之一，那麼不必再用微積分，只需利用初等數學知識加上物理的守恆定律，便可以得到答案。

如何得到:?

[WenXP]

wow bamboo, 好耐冇見!!
是的, 如何得到?

[bamboo]

既然軌跡的形狀只有四種，只要証明直線、橢圓及雙曲線都不可能，剩下來的便只有拋物線軌跡了。

先証明直線軌跡之不可能。

地球的運動軌跡若是直線，那麼這直線必須要經過重力場中心(在本題中即太陽)，因此地球相對於太陽的角動量恆為零。但當太陽質量改變時地球仍然有一個不等於零的角動量，由重力場中角動量守恆性質，得証地球的運動軌跡不可能是直線。

[bamboo]

然後証明橢圓軌跡之不可能。

我曾在本版的主題開普勒第三定律的推導中用初等數學推導出若一個行星的軌道為橢圓形，其長軸與行星總能量(動能+勢能)的關係。由計算可知所有在橢圓軌道上運動的行星，其總能量都是負值，這個負值越接近零，橢圓的長軸就越長，兩者成反比關係，詳情請參看在該主題中我於星期一 12 七月, 2004 5:23 pm所發的的文章。所以若地球的總能量忽然變為零，那麼地球便不會留在一個橢圓軌道上。

在該主題的計算稍為長了一點，原因是還要推導出行星橢圓軌道的其他幾項性質。若只要求証明零總能量的行星不會留在一個橢圓軌道上，還有更簡單的方法，大家不妨先想一想。

[Wah!]

可否咁樣去"證明" :
地球在近日點有逃逸速度是總能量為零的情況.我們知道有逃逸速的話,是可以飛向無限遠而永不回頭.
橢圓軌道上的物體不能飛到無限遠,最遠是是去到遠日點,所以這個物體總能量低於零.
以上兩段可以總結出要能去到無限遠,總能量必須大於或等於零.
而有可能去到無限遠的曲線只有拋物線,雙曲線和直線.

[bamboo]

在中學課程內，計算一個物體的逃逸速度的方法，通常是令物體的總能量(動能+勢能)等於零，設立方程然後求解。

現在問兩個問題：
(1) 這樣的計算理由何在？

(2) 一般在中學課程內，沒有計算於任一軌道(除正圓形軌道外)上運動的物體的總能量。為什麼可以斷定物體達到這個逃逸速度而初始速度的方向合適的話，便可以脫離重力的約束而飛往無限遠呢？換言之，為什麼總能量等於零或大於零的物體便一定可以飛往無限遠呢？

[Wah!]

1.因為這樣便可以以無限遠距離作一個勢能為零的標準.

2. 而物體由無限遠去到近距離時便會失去勢能(負值),轉為動能(正值).反過來說,物體要有足夠的動能,才可以轉化成勢能去到無限遠,這個速度便是逃逸速度.這個速度只要不是指向星球,便可以順利地轉化回勢能,即是飛向無限遠的太空深處.

(都唔知自己講左乜...)

[bamboo]

(1) 通常的做法是把重力勢能的基準定在無限遠處，即在無限遠處的物體的重力勢能為零。若一物體可以沿某軌跡飛到無限遠，那麼它在無限遠處的總能量(動能+勢能)便等於動能+零，而動能至少是零，因此該物體在無限遠處的總能量至少是零。又由於能量守恆，故此該物體在任何時間，包括在初始時刻，其總能量均至少是零。也就是若一物體的總能量少於零，則它不可以飛到無限遠。

(2) 如果我們沒有(1)以外的論証，那麼我們不可以斷定總能量等於零或大於零的物體便一定可以飛往無限遠。在(1)中我們只証明瞭總能量等於零或大於零是物體可以飛到無限遠的必要條件。對於符合反平方定律的重力場而言，這碰巧也是充分條件，但需要另行証明。對於其他引力場而言，這可不是理所當然的。

[bamboo]

讓我舉一個例子說明。

假設某引力場符合反四次方定律，即引力F=mA/r^4，並中r是物體與引力場中心的距離，m是物體的質量，A是一個常數。可以計算出物體之勢能為U=-mA/(3*r^3)。對於這樣的引力場，總能量等於零或大於零仍然是物體可以飛到無限遠的必要條件。

設一物體繞引力場中心作圓周運動，由向心力公式，可得到方程mA/r^4=mv^2/r，並中v是物體的速率。稍加整理，便得出物體之動能為T=mv^2/2=mA/(2*r^3)。注意U=-(2/3)T，總能量T+U=(1/3)T0，所以一個總能量大於零的物體也會脫離不了這樣的引力場。

[WenXP]

說來也是... 真奇怪... 一頭冒水...
究竟脫離引力場的充份條件是甚麼??

[dydx]

有足夠動能去到無限遠

[Wah!]

即引力F=mA/r^4
呢種場係幾時出現架? 強弱力??

[WenXP]

自然界冇呢種力o架, Bamboo假設o者~

[扒飯撈麵]

冇呢種力
只有時空的扭曲??

[bamboo]

WenXP說得對，上面所舉的反四次方引力(Attraction不是重力Gravity)場，只是一個假設。

但我們可以模擬出這種引力場。

設想我們把一個電荷-2Q固定在原點(0,0,0)，及把一個電荷+Q固定在(0,0,a)，另一個電荷+Q固定在(0,0,-a)，其中a是一個很細小的長度。現在考慮一個在XOY平面上運動的小正電荷q，在原點的負電荷所產生的吸力不會令它偏離XOY平面，而由於對稱性，在原點外的兩個正電荷所產生的斥力合力也不會令它偏離XOY平面，所以這個小正電荷會一直保持在XOY平面上運動，我們不必理會它在XOY平面以外的受力情況。

現在考慮這個小正電荷q在XOY平面所感受到的靜電引力。直接計算受力的大小有點繁複，我們改為計算其靜電勢能。令小正電荷跟原點的距離為r，它跟兩個正電荷的距離便為(r^2+a^2)^(1/2)，它的總靜電勢能U是
U=(-2Qq/r)+(2Qq/(r^2+a^2)^(1/2))
=(-2Qq/r)(1-r/(r^2+a^2)^(1/2))
=(-2Qq/r)(1-1/(1+(a/r)^2)^(1/2))
當r相比a很大時，由二項式定理知
(1+(a/r)^2)^(-1/2)=1-(1/2)*(a/r)^2+(3/8 )*(a/r)^4-…
因此1-1/(1+(a/r)^2)^(1/2)=(1/2)*(a/r)^2-(3/8 )*(a/r)^4+…
把第二項起的項略去，便有
1-1/(1+(a/r)^2)^(1/2)=(1/2)*(a/r)^2
U=-Qqa^2/r^3
即當q離原點足夠遠時，其總靜電勢能與距離立方成反比，由此可知其所受靜電引力與距離四次方成反比。