主鏡預算採用17吋的CDK, 叉臂要推動總重約80kg的鏡筒. 究竟要用多大的力矩 ( torque ) 呢?
首先要感謝Thomas, 早前幫忙計算出電機的恰當轉矩, 真真正正從理論層面開展電機推動部份的設計, 繼而可以在市面上找到合適的電機.
這次我改變三年前的”直流”電機選擇, 從新找到了更合適望遠鏡用的伺服電機, 這就是上兩篇文章提及的”無刷直流”电机 BLDC. 它最
主要特式是體積細但扭力大, 而且在低速時力矩最大, 這正是望遠鏡腳座最需要的!
計算電機要用的轉動力矩, 涉及兩條公式, 現把運算方法步驟逐步列出給大家參考. 先表明內容主要是取材於Thomas的英文原著, 再經本人
將資料整理排列註釋.
(A) 電機直接推動鏡筒的力矩
1) 首先計算出OTA的慣性矩( The moment of inertia )
2) 再推算快動尋星( slewing )的角加速度( angular acceleration )要求的力矩
1) OTA 慣性矩**
慣性矩公式
其中p是密度，dV是體積元
從公式運算得OTA的慣性矩= 9.3kg㎡
2) OTA角加速度的力矩**
預計望遠鏡尋星速度
要求在10秒內加速至5°/秒
5° = 0.087弧度 ( radian )
所以角加速度 = 0.087/10 = 0.0087弧度/秒.秒
代入力矩公式
其中 τ 是力矩, I 是慣性矩, α 是角加速度
電機輸出端的要求理論轉矩
= 9.3 x 0.0087 Nm ( Newton metre )
= 0.081 Nm
已知電機持續轉矩 ( continuous torque )
= 0.04Nm
因為電機持續轉矩少於理論轉矩
0.04Nm < 0.081Nm
所以, 為了達到要求理論轉矩, 便要放大電機的力矩, 那麼就要增加一組減速齒輪在電機的輸出端
齒輪在電機的輸出端的倍數
= 0.081 / 0.04 = 2.025 倍
電機經齒輪輸出端的最小理論轉矩
=2.05 x 0.04Nm
= 0.082Nm
為了要克服阻力 ( friction ), 並假設效率衹有 25%, 這樣又有需要再增加齒輪的倍數
= 2.05 / 25% = 2.025 x100/25
= 8.1倍
電機經齒輪輸出端的理論轉矩
= 8.1 x 0.04 Nm
= 0.324 Nm
(B) 電機配蝸輪齒推動鏡筒的力矩
電機若配蝸輪齒的話, 所需要的力矩便不同, 會小許多.
已知,
蝸輪齒 ( worm gear )
直徑 = 9 吋 = 228.6mm
半徑 (r) = 0.1143m
齒數 (T) = 285
上一節 (A) 已計算電機直接驅動系統的理論轉矩是
= 0.081 Nm
所以, 驅動蝸輪齒的力
= 0.086/0.1143
= 0.752 N ( newton )
蝸輪齒的牙距 ( pitch )
= 圓周 / 齒數
= 2丌r / T
= 2 x 3.14 x 0.1143 / 285
= 0.00252 m
轉化為角度, 一圓周有360°
= 360 / 285°
腳座快速尋星要求轉動 5° / 秒
所以, 每秒轉動包括的齒數數目
= 5 / (360/285) 齒 / 秒
= 3.96 齒 / 秒
相等於每秒運行了的距離
= 牙距 x 齒數
= 0.00252 x 3.96 m / 秒
= 0.00998 m /秒
能量 = 力 x 距離
= 0.752 x 0.00998
= 0.0075 J
功率 = 能量 / 時間
= 0.0075 J / 1秒
=0.0075 W
所以, 電機衹需要功率0.0075 W
化為力距
蝸桿 ( worm ) 每一轉推進蝸輪齒距離
= 0.00252 m (牙距)
蝸桿直徑 = 25 mm
所以,
蝸桿圓周
= 3.14 x 25 mm
= 78.5 mm
= 0.0785 m
因為是斜面,
= 0.00252 / 0.0785
所以把力放大
= 7850 / 252
= 31.15
最初計算要用0.752 N的力推動蝸輪齒, 現在則由蝸桿轉動而施加於蝸輪齒面的力應該是
= 0.752 / 31.15
= 0.024 N
因為 0.024 N 的力離開蝸桿軸中心是 0.0125 m (蝸桿半徑)
所以, 需要的力矩
= 0.024 x 0.0125 Nm
= 0.0003 Nm
上述計算結果假設蝸輪齒和蝸桿系統沒有阻力, 而且所有力 ( power ) 或力矩 ( torque ) 全部用於加速望遠鏡和腳座. 真實情況下, 最小要預算多 4 至 5 倍的力度
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已知電機額定轉速 ( nominal speed ) = 6000 rpm; 蝸輪齒齒數 = 285
電機理論上經兩組齒輪減速後的速度
= 6000 / 減速齒輪 / 蝸輪齒
= 6000 / 8.1 / 285 rpm (減速齒輪=8.1, 蝸輪齒=285)
= 2.599 rpm
= 2.599 x 360 °/分
= 935.6 °/分
= 15.6 °/秒
所以電機可以用每秒 5 ° 以上 快速尋星.
由第八篇文章 --- 齒輪減速, 計算出電機每分鐘10轉便要用50:1的減速齒輪配合285齒的蝸輪齒跟蹤追星 ( tracking ), 15"/秒 (0.25°/分).
電機經齒輪輸出端的實際轉矩
= 50 x 0.04 Nm
= 2 Nm ( > 理論轉矩 0.324 Nm )
電機實際上經兩組齒輪減速後的速度
= 6000 / 減速齒輪 / 蝸輪齒
= 6000 / 50 / 285 rpm (減速齒輪=50, 蝸輪齒=285)
= 0.42 rpm
= 0.42 x 360 °/分
= 151.5 °/分
= 2.5 °/秒
所以電機僅可以用每秒 2.5 ° 快速尋星.
增加快速尋星速度的方法
因為無刷直流電機速度愈小, 轉矩愈大, 若果未來可以設計制造出精度高的控制器, 可微調電機速度至每分鐘5轉的話, 快速尋星便可以倍增.
電機減速至每分鐘5轉的齒輪輸出端轉矩
電機速度每分鐘5轉後, 減速齒輪比會小一半, 由50減至25齒
= 25 x 0.04 Nm
= 1 Nm ( > 理論轉矩 0.324 Nm )
最新的實際尋星速度
= 6000 / 減速齒輪 / 蝸輪齒
= 6000 / 25 / 285 rpm (減速齒輪=25, 蝸輪齒=285)
= 0.842 rpm
= 0.842 x 360 °/分
= 303 °/分
= 5.05 °/秒
這便達到要求的速度, 電機可以用每秒 5 ° 快速尋星了.
望遠鏡轉動精度
除了要計算電機的轉矩, 更要調節電機速度, 增加齒輪減速至每日一轉, 亦要考慮編碼器配合齒輪減速比後的總解像度, 以便有足夠的追蹤精度.
由第六章---蝸輪齒文章中, 得知跟蹤(tracking)速度是0.25°/分 (或15角秒/分), 追蹤精度要 < 0.1角秒/分.
要達到追蹤精度, 伺服系統最好可提供至少每角秒有10個編碼信號 (脈冲數, tick).
由第八章齒輪減速公式
求電機的編碼器是否有足夠的信號:
整體齒輪比 = 伺服電機齒輪比 x 皮帶齒輪比* x 蝸輪齒比 x 摩擦輪比*
*若果沒有該减速裝置便定義為 1 .
代入公式,
整體齒輪比 = 25 x 1 x 285 x 1 = 7125
推算總脈冲數,
已知, 編碼器解像度 = 2500線 (line或CPR, count per turn)
編碼器解像度輸出
= 編碼器線數 x 4
= 2500 x 4
= 10000 脈冲數
總編碼信號
= 編碼器解像度輸出 x 整體齒輪比
= 10000 x 7125= 71250000 脈冲數
計算追蹤精度, 先把每轉360° 轉化為1296000角秒,
所以,
追蹤精度 = 71250000/1296000 = 54 脈冲數/角秒
因為 54 > 10 脈冲數/角秒, 計算後電機的編碼器是有足夠信號的.
如果齒輪減速比太小導至總脈冲數未能達標, 在不影嚮快速尋星速度的話可以考慮提高齒輪比率, 否則便要選配高解像度編碼器.
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最終確定無刷伺服電機型號後的參數:
高度軸
得知快速尋星(slewing), 要求地平儀高度軸速度是3°/秒
現採用 42JSF630AS 伺服電機
電壓 = 24V
功率 = 64W
電機額定轉速 = 3000 rpm
編碼器解像度 = 1000線, 4000脈冲數
額定力矩 = 0.2Nm
電機直徑 = 42mm
重量 = 0.4kg
水平軸蝸輪齒 = 285
减速齒輪 = 1436 / 285 = 5.04:1
理論上如果電機速度每分鐘 1 轉,
減速齒輪比 = 5.04 x 1 = 5.04:1
如果電機速度改為每分鐘 3 轉後,
減速齒輪比 = 5.04 x 3 = 15.12:1
市場衹有 15:1 的減速齒輪
若果用 15:1 齒輪
電機轉矩
= 15 x 0.2 Nm
= 3 Nm ( > 理論轉矩 0.324 Nm )
所以,
新的尋星速度
= 3000 / 減速齒輪 / 蝸輪齒
= 3000 / 15 / 285 rpm (減速齒輪=15, 蝸輪齒=285)
= 0.701 rpm
= 0.701 x 360 °/分
= 252.6 °/分
= 4.2 °/秒
這個組合使地平儀能達到要求的速度, 望遠鏡高度軸可以用每秒4.2 ° 快速尋星.
重新計算: 追蹤精度
整體齒輪比
= 15 x 285 = 4275 (減速齒輪=15, 蝸輪齒=285)
總編碼信號
= 編碼器解像度輸出 x 整體齒輪比
= 4000 x 4275
= 17100000 脈冲數
追蹤精度
= 17100000 / 1296000
= 13 脈冲數/角秒
因為 13 > 10 脈冲數/角秒, 計算後電機的編碼器是有足夠信號的.
水平軸
由第六章---蝸輪齒文章中
得知快速尋星(slewing), 要求地平儀水平軸速度要快數倍, 約是17°/秒
現採用 60ASM100 伺服電機
電壓 = 36V
功率 = 100W
電機額定轉速 = 3000 rpm
編碼器解像度 = 2500線, 10000脈冲數
額定力矩 = 0.318 Nm
電機直徑 = 60mm
重量 = 0.701kg
水平軸蝸輪齒 = 405
减速齒輪 = 1436 / 405 = 3.54:1
如果電機速度改為每分鐘 1 轉後,
減速齒輪比 = 3.54 x 1 = 3.54:1
市場衹有 3:1 或 4:1 的減速齒輪
若果用 4:1 齒輪
電機轉矩
= 4 x 0.318 Nm
= 1.272 Nm ( > 理論轉矩 0.324 Nm )
用小一些減速齒後轉矩也達到要求的數值, 所以可以接受用 4:1 的齒輪比.
所以,
新的尋星速度
= 3000 / 減速齒輪 / 蝸輪齒
= 3000 / 4 / 405 rpm (減速齒輪= 4, 蝸輪齒=405)
= 1.852 rpm
= 1.852 x 360 °/分
= 666.6 °/分
= 11.1 °/秒
這個組合使地平儀水平軸祇可達到低一點要求速度, 望遠鏡腳座祇可以用每秒 11.1 ° 快速尋星.
重新計算: 追蹤精度
整體齒輪比
= 4 x 405 = 1620 (減速齒輪= 4, 蝸輪齒=405)
總編碼信號
= 編碼器解像度輸出 x 整體齒輪比
= 10000 x 1620
= 16200000 脈冲數
追蹤精度
= 16200000 / 1296000
= 12.5 脈冲數/角秒
因為 12.5 > 10 脈冲數/角秒, 計算後電機的編碼器是有多於要求的信號.
小知識**
a) 慣性矩—( 轉動慣量 )
轉動慣量用以描述一個物體對於其旋轉運動的改變的對抗，是一個物體對於其旋轉運動的慣性。
b) 力矩
在物理學裏，作用力( force )使物體繞着轉動軸或支點轉動的趨向，稱為力矩。轉動力矩又稱為轉矩。力矩能夠使物體改變其旋轉運動。
推擠或拖拉涉及到作用力，而扭轉則涉及到力矩。
下圖顯示在一個旋轉系統裏，作用力 F 、位置向量 r 、力矩 T 、動量P 、角動量 L ，這些物理量之間的關係。
力矩時常會如以下定義：
力矩 = 矩臂 (moment arm) x 作用力
下圖顯示出矩臂這個定義並沒有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，並不適用於三維空間問題。
c) 角加速度
角加速度是角速度隨時間的變化率。
參考資料:
1)維基百科---慣性矩
http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
2)維基百科---力矩
http://en.wikipedia.org/wiki/Torque
3)維基百科---角加速度
http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_acceleration
Wongsir
2013-10-16